42857这个数为什么这么神秘呢还有其他的吗

　　（这是一个初中数学水平就可以阅读的答案 ^_^）


142857，又称 “走马灯数”，是世界上最著名的几个数之一 （ 也许仅次于
、
），也许很多人很小的时候，就会在趣味数学里看到这个数。而这个神秘的数，最早发现于埃及的金字塔内。
为什么说这个数是 走马灯数 呢？
这是因为，它 2~6 倍，都恰好是这六个数字的重新排列
：285714,428571,571428,714285,857142……
并且是 按次序 排列的哦，如下图所示，是不是很像 “走马灯” 呢？






这样的“走马灯” 性质实在是让人啧啧称奇。于是我们开始好奇，142857 为什么会具有这样神奇的性质？ 是否还会有其他数具有这样的性质呢？


先回答第一个问题。
数学系的人也许会高冷地回答你：因为 10 是模 7 的一个原根。
但这个回答，一定是令 99 % 的人懵逼的。
大部分普通人恐怕会问：“原根” 是什么？
当然，也许还有些连初中数学都还给老师的人，会问：“模” 是什么，哈？


（哎，作为一名水平低下的数学爱好者，有时候我有点讨厌某些学数学的大佬，因为明明可以用更通俗的语言解释，但他们却总喜欢用一些高深的术语去吓跑数学小白们，去扑灭他们对数学的热情，其心可诛啊！ ）


这个问题，其实正是让数学小白们叩开 初等数论 大门的伟大机会啊！
我相信，要完整地理解这个问题的来龙去脉，对于初中数学水平的人，大概也就需要半个小时而已~
当然，需要 3 个很简单的前提条件：
你知道 质数（素数）的概念：只能被 1 和自身整除的数；也知道 互质 的含义（最大公约数为1）；你会 竖式计算；你已经知道：142857*7=999999；那么，下面我们开始吧~


一、竖式计算的奥秘
既然你已经知道了 142857*7=999999，那么你一定很容易联想到 1/7 会有 142857 的循环节。毕竟 1000000 除以 7 余 1 嘛！竖式计算告诉我们，产生循环几乎是显然的：




仔细观察一下竖式计算，你会发现一个很有趣的现象：
前 6 次相减，余数分别 3、2、6、4、5、1，恰好遍历了比 7 小的 1~6，这就意味着，下一个余数无论是几，都必然会和前面的重复，从而必须产生循环。
这个现象揭示了一个简单的定理：
定理 1.1：1/n 的小数展开，其循环节长度不超过 n-1。


如果循环节恰好为 n-1 ，在竖式计算的每一步中，余数一定遍历了 1，2，…，n-1，那么显然，1/n, 2/n,…， (n-1)/n 的竖式计算，一定能和 1/n 的竖式计算中的某一步衔接起来，循环节会形成 “走马灯” 的效果。42857这个数为什么这么神秘呢还有其他的吗
反之，对于任意一个“走马灯数”，我们可以把它当做循环小数的循环节，而循环小数必然可以表示成分数 k/n，若循环节小于 n-1，那么余数必然不能遍历 1，2，…，n-1，那么 “走马灯” 的效果则不会出现。于是我们得到了另一个定理：
定理 1.2：对每一个 “走马灯数” ，都存在自然数 n，走马灯数为 1/n 的小数展开后的循环节，且这个循环节恰好有 n-1 位。


接下来，我们需要寻找满足条件的 n，初等数论 的大门将缓缓打开。


二、费马不只发现了“费马大定理”
在这一部分，我们需要接触 3 个初等数论的基础概念：
同余：若 a 除以 n 和 b 除以 n 的余数相同，则称 a 和 b 对模 n 同余，记作
(mod n)；欧拉函数：小于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目，记为
；剩余系：对全体自然数，按照除以 n 的余数可以分成 n 类，每一类构成的集合叫做 剩余类；在每一个剩余类中取一个数，构成的集合叫做 完全剩余系；在每一个和 n 互质的剩余类中取一个数，构成的集合叫 简化剩余系。易见，一个模 n 的简化剩余系中有
个元素。关于欧拉函数，举 2 个例子：
比如 6，在 1、2、3、4、5 中，只有 1 和 5 是和 6 互质的，所以
;对于任意质数 p，博彩资讯显然 1~ p-1 都和其互质，因此
。于是我们很快可以得到一个定理：
定理 2.1（费马-欧拉定理）：若 a 和 m 互质，则
(mod m)


这是第一个需要稍微思考一下的定理。但证明也并不复杂：
在 1~ m-1 中取一个模 m 的简化剩余系，从小到大排列为
，任意两个数之间的差都小于 m-1，考虑每个数的 a 倍，由于 a 和 m 互质，显然有：

(mod m)
于是
也构成了模 m 的简化剩余系。
则有：
(mod m)
那么：


和 m 互质，所以
，证毕！


特别地，当 m 为质数的时候，结合欧拉函数的定义，我们得到了费马小定理：
定理 2.2（费马小定理）：若 p 为质数，且 a 和 p 互质，则
(mod p)


费马大定理是我们耳熟能详的，但其实费马小定理也是初等数论中比较基本的定理哦！


三、42857这个数为什么这么神秘呢还有其他的吗原根，以及 A001913
在费马-欧拉定理中，取 a=10，当 m 与 10 互质的时候，才有：
（mod m），从而形成 纯循环小数。联想到竖式计算：
在 1/m 的计算过程中，
一定是循环节（但不一定是最短的），显然，当且仅当 m 为质数的时候，才可能有
。满足 “走马灯” 性质 m 至少是质数，博彩问答且与 10 互质。
但 m 是质数并不是充分条件，如 m=3，
，而
(mod 3)。
于是原根的定义便呼之欲出了： 设 m 是正整数，a 是整数，若 a 模 m 的阶（使得
（mod m）的最小正整数 k）等于
，则称 a 为模 m 的一个原根。
因此我们得到了最终的结果：
定理3： 对每一个 “走马灯数”，必然存在自然数p，走马灯数为 1/p 小数展开后的循环节，且 p 的充要条件是： ① p 是质数； ② p 与 10 互质； ③ 10 是模 p 的一个原根。


有一个收录了各种数列的网站叫 OEIS，它恰好收录了走马灯数相关的 p： A001913


与此同时，还给出了 “走马灯数” 数列：A180340
142857, 588235294117647, 52631578947368421, 434782608695652173913, 344827586206896551724137931, 212765957446808510638297872340425531914893617, 169491525423728813559322033898305084745762711864406779661


这便是第二个问题的答案了。